複素数の問題 解法２

さて、解法2です。

今回は2乗をしての因数分解を考慮しつつ、同値性を成立させることがメインテーマです。

また、それを成立させることによる計算の楽さも注目してほしいですね。

$$ (z-2)^2=\frac{1}{2}i　まで解法1と同じ$$

$$以下、(z-2)^2=\frac{1}{2}i　の条件下で、両辺2乗$$

$$ (z-2)^4=-\frac{1}{4} $$

$$(z-2)^4+\frac{1}{4}=0$$

$$ \{(z-2)^2+\frac{1}{2}\}^2-(z-2)^2=0$$

$$\{(z-2)^2+(z-2)+\frac{1}{2}\}×\{(z-2)^2-(z-2)+\frac{1}{2}\}=0$$

以上より

$$[(z-2)^2+(z-2)+\frac{1}{2}=0 ∪ (z-2)^2-(z-2)+\frac{1}{2}=0] ∩ (z-2)^2=\frac{1}{2}i$$

$$　∴　\frac{1}{2}i+(z-2)+\frac{1}{2}=0 ∪ \frac{1}{2}i-(z-2)+\frac{1}{2}=0$$

$$　∴　z=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i ∪ z=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i$$

条件より \(Im:Z<0\) なので

$$z=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$$

さて・・・

だいたいこういう系の問題の解法を見せた時、生徒さんからは

このへんの質問が多いでしょうか。

これについていうと、解き方を考え終わりまでのシミュレーションでおよそ三十秒から一分ぐらいでしょうか。　初見とかあんまり関係なく、眺めてたら思いつく感じですかね。問題の作りから出題者の意図を読み取る事を重視して道筋を幾つかシミュレートしています。

いろいろ参考にしてください。